分式的四则运算精讲精练(含答案)

[分式的四则运算精讲精练(含答案)]

分式的四则运算

知识总结归纳：

1. 分式的乘除法法则

abcdacbd

；

ab



cd



ab



dc



adbc

当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分，

分式的四则运算精讲精练(含答案)

[智库|专题]。

2. 分式的加减法

（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是：

①取各分母系数的最小公倍数；

②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则：

acbcabc

。

（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则：()n（n为正整数）

bb

4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：

（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；

（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式； （3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算 例1：计算

xx2xx6

22

a

n

a

n



xx6xx2

2

2

的结果是（ ）

A.

x1x3

B.

x1x9

C.

x1x9

2

2

D.

x1x3

2

2

分析：

(x2)x(1)x(

(x3)x(2)x(

2x)(3x)(

1)x(2)x(x1)(

x3)(

22

x1)

x3)

19

故选C 说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

*例2：已知abc1，求

aaba1



bbcb1



cacc1

的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式 

aaba1

aaba1



ababcaba

ab1aba

nm

abcabcabcababca1abmmn



1 )的值。

aab1aba1nm

m

例3：已知：2m5n0，求(1)(1

mn

分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解：(1



nm

mmn

)(1

nm

mmn

)

m(mn)n(mn)m

m(mn)nm(mn)



m(mn)n





m(mn)n(mn)m

m(mn)



mnmn

5

故原式2

5

abab

13

bcbc

nn



72

n

32

n

73

* 例4：已知a、b、c为实数，且

的值是多少？

，

2

1

4

nn

，

caca



15

，那么

abcabbcca

分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 解：由已知条件得： 所以2( 又因为

1a1b1c

1a1b3，

1b1a1c4，1b1c1c1a5

)12 即

1c1b1a

6

abcabbcca

16

abbcca

abc

6 所以

例5：化简：(

x1x2

3

3



x1x2

2

)

x4x1

2

2

(x1)(x2)(x1)(x2)(x2)(x2)

解一：原式 

(x2)(x2)x1



x3x2x4

x1

24

3

2



(xx)3(x1)(x1)

x1

2

4232

x(x1)(x1)3(x1)(xx1)(x1)(x1)

x1

(x1)(xx3x3x3x1)

x1

3

23

2

2

x2x4x4

(x1)(xx1)(x2)(x2)(x1)(x1)(x2)(x2)

解二：原式 

x2x1x2x1

(xx1)(x2)(x1)(x2)

2

2

xxx2x2x2x3x2

x2x4x4

3

2

3222

说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次

多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法，

资料大全

《分式的四则运算精讲精练(含答案)》(http://www.lp1901.com)。 例1（2000·北京朝阳）计算：1

nmm2n



mn

2

2

2

2

m4mn4n

解：

m2nmn

mnm2n

mn

3nmn

1

说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。 例2（2001·内蒙呼和浩特） 已知：

Mxy

2

2



2xyyxy

2

2

2



xyxy

，则M_________。



2xyyx2xyy

xy

2

2

222



x

2

2

2

xy



Mxy

2

2

Mx2

说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。 例1：计算：[

1(ab)

2



1(ab)

2

](

1ab



1ab

)

解一：原式

(ab)(ab)(ab)(ab)

4ab(ab)(ab)1ab



1ab

2

2

22

22



abab(ab)(ab)





(ab)(ab)

2b1



1ab

2a(ab)(ab)1ab



1ab

)



2aab

2

2

解二：原式( 

)(

ab

)(

1ab



1ab



abab(ab)(ab)



2aab

2

2

说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。 例2：若ab3ab，则(1

12

2

2

2b

3

3

ab

)(13

2bab

)的值等于（ ）

A. B. 0

3

3

C. 1

3

D.

23

解：原式

ab2bab

ab

23

3

33



ahttp://http://www.unjs.com/news/55BB64658DC3371E.htmlb2bab

2

2

(ab)(aabb)ab

3322

abab(ab)(aabb)ab

aabbaabb

2

22

ab

故选A



3abab3abab



2ab4ab



12

[基本练习]

1. 已知：ab2，ab5，则 A. 

25

ab1951



ba

的值等于（ ） D. 

245

B. 

145

C. 

2. 已知x216x10，求x3 3. 计算：

1x

2

x

3

的值。



1x

2

3x2

11112222



1x5x6

2

7x12



1x

2

9x20

* 4. 若A

99999999

11

，B

99999999

22223333

11

，试比较A与B的大小。

1a

1b

1c

*5. 已知：abc0，abc8，求证：

0。

【答案】

1.

ab2，ab5

ab

22

(ab)2ab14

2

ab



ba



145



14 故选B 5

2.

1x

3

x1x

36

1x

3



(x1)(xx1)

x

3

242



16x(xxx16x)

x

3

422

16[3

16(x1)

x

2

]16[3

1616x

x

]162594144

说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。 3. 解：原式

1(x1)(x2)

1x11x1

1x21x5



1(x2)(x3)

1x2

2



1(x3)(x4)

1

1x4



1(x4)(x5)

1

1x5





4

1x3





x3



x4



x6x5

说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。 4. 解：设a9999

1111

，则A

2

a1a1

42

，B

a1a1

43

2

AB

a1a1

2



a1a1

23



aaa1a2a1

(a1)(a1)

2

3

32



a(a1)

2

3

(a1)(a1)

0 AB

5. 证明：abc0

(abc)20，即a2b2c22ab2bc2ac0

又

abc

abc



16(a

2

bc) abc8

22

a、b、c均不为零

abc0

2

2

2



1a



1b



1c

0

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