分式的四则运算精讲精练(含答案)
分式的四则运算
知识总结归纳:
1. 分式的乘除法法则
abcdacbd
;
ab
cd
ab
dc
adbc
当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分,
分式的四则运算精讲精练(含答案)
[智库|专题]。2. 分式的加减法
(1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键,它的法则是:
①取各分母系数的最小公倍数;
②凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取; ③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。 (2)同分母的分式加减法法则:
acbcabc
。
(3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 3. 分式乘方的法则:()n(n为正整数)
bb
4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题:
(1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关;
(2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算 例1:计算
xx2xx6
22
a
n
a
n
xx6xx2
2
2
的结果是( )
A.
x1x3
B.
x1x9
C.
x1x9
2
2
D.
x1x3
2
2
分析:
(x2)x(1)x(
(x3)x(2)x(
2x)(3x)(
1)x(2)x(x1)(
x3)(
22
x1)
x3)
19
故选C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。
*例2:已知abc1,求
aaba1
bbcb1
cacc1
的值。
分析:若先通分,计算就复杂了,我们可以用abc替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。 解:原式
aaba1
aaba1
ababcaba
ab1aba
nm
abcabcabcababca1abmmn
1 )的值。
aab1aba1nm
m
例3:已知:2m5n0,求(1)(1
mn
分析:本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解:(1
nm
mmn
)(1
nm
mmn
)
m(mn)n(mn)m
m(mn)nm(mn)
m(mn)n
m(mn)n(mn)m
m(mn)
mnmn
5
故原式2
5
abab
13
bcbc
nn
72
n
32
n
73
* 例4:已知a、b、c为实数,且
的值是多少?
,
2
1
4
nn
,
caca
15
,那么
abcabbcca
分析:已知条件是一个复杂的三元二次方程组,不容易求解,可取倒数,进行简化。 解:由已知条件得: 所以2( 又因为
1a1b1c
1a1b3,
1b1a1c4,1b1c1c1a5
)12 即
1c1b1a
6
abcabbcca
16
abbcca
abc
6 所以
例5:化简:(
x1x2
3
3
x1x2
2
)
x4x1
2
2
(x1)(x2)(x1)(x2)(x2)(x2)
解一:原式
(x2)(x2)x1
x3x2x4
x1
24
3
2
(xx)3(x1)(x1)
x1
2
4232
x(x1)(x1)3(x1)(xx1)(x1)(x1)
x1
(x1)(xx3x3x3x1)
x1
3
23
2
2
x2x4x4
(x1)(xx1)(x2)(x2)(x1)(x1)(x2)(x2)
解二:原式
x2x1x2x1
(xx1)(x2)(x1)(x2)
2
2
xxx2x2x2x3x2
x2x4x4
3
2
3222
说明:解法一是一般方法,但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次
多项式,而它的分解需要拆、添项,比较麻烦;解法二则运用了乘法分配律,避免了上述问题。因此,解题时注意审题,仔细观察善于抓住题目的特征,选择适当的方法,
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《分式的四则运算精讲精练(含答案)》(http://www.lp1901.com)。 例1(2000·北京朝阳)计算:1nmm2n
mn
2
2
2
2
m4mn4n
解:
m2nmn
mnm2n
mn
3nmn
1
说明:分式运算时,若分子或分母是多项式,应先因式分解。 例2(2001·内蒙呼和浩特) 已知:
Mxy
2
2
2xyyxy
2
2
2
xyxy
,则M_________。
2xyyx2xyy
xy
2
2
222
x
2
2
2
xy
Mxy
2
2
Mx2
说明:分式加减运算后,等式左右两边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M。 例1:计算:[
1(ab)
2
1(ab)
2
](
1ab
1ab
)
解一:原式
(ab)(ab)(ab)(ab)
4ab(ab)(ab)1ab
1ab
2
2
22
22
abab(ab)(ab)
(ab)(ab)
2b1
1ab
2a(ab)(ab)1ab
1ab
)
2aab
2
2
解二:原式(
)(
ab
)(
1ab
1ab
abab(ab)(ab)
2aab
2
2
说明:在分式的运算过程中,乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。 例2:若ab3ab,则(1
12
2
2
2b
3
3
ab
)(13
2bab
)的值等于( )
A. B. 0
3
3
C. 1
3
D.
23
解:原式
ab2bab
ab
23
3
33
ahttp://http://www.unjs.com/news/55BB64658DC3371E.htmlb2bab
2
2
(ab)(aabb)ab
3322
abab(ab)(aabb)ab
aabbaabb
2
22
ab
故选A
3abab3abab
2ab4ab
12
[基本练习]
1. 已知:ab2,ab5,则 A.
25
ab1951
ba
的值等于( ) D.
245
B.
145
C.
2. 已知x216x10,求x3 3. 计算:
1x
2
x
3
的值。
1x
2
3x2
11112222
1x5x6
2
7x12
1x
2
9x20
* 4. 若A
99999999
11
,B
99999999
22223333
11
,试比较A与B的大小。
1a
1b
1c
*5. 已知:abc0,abc8,求证:
0。
【答案】
1.
ab2,ab5
ab
22
(ab)2ab14
2
ab
ba
145
14 故选B 5
2.
1x
3
x1x
36
1x
3
(x1)(xx1)
x
3
242
16x(xxx16x)
x
3
422
16[3
16(x1)
x
2
]16[3
1616x
x
]162594144
说明:此题反复运用了已知条件的变形,最终达到化简求值的目的。 3. 解:原式
1(x1)(x2)
1x11x1
1x21x5
1(x2)(x3)
1x2
2
1(x3)(x4)
1
1x4
1(x4)(x5)
1
1x5
4
1x3
x3
x4
x6x5
说明:本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分,简化计算。 4. 解:设a9999
1111
,则A
2
a1a1
42
,B
a1a1
43
2
AB
a1a1
2
a1a1
23
aaa1a2a1
(a1)(a1)
2
3
32
a(a1)
2
3
(a1)(a1)
0 AB
5. 证明:abc0
(abc)20,即a2b2c22ab2bc2ac0
又
abc
abc
16(a
2
bc) abc8
22
a、b、c均不为零
abc0
2
2
2
1a
1b
1c
0
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